Lineare Algebra Beispiele

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere ${(- 5 - k)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 2.5

Berechne den Exponenten.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe ${(- 5 - k)}^{2}$ als $(- 5 - k) (- 5 - k)$ um.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(- 5 - k) (- 5 - k)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Schritt 5.3.1.5

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.5.1

Bewege $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Schritt 5.3.1.5.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Schritt 5.3.1.7

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Schritt 5.3.2

Addiere $5 k$ und $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $25$ von $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $h$ durch $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ als $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ um.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Schritt 6.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.6.2.2

Dividiere $h$ durch $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.6.3.1.2

Dividiere $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ durch $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.6.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Schritt 6.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 8.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Schritt 8.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 10$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 8.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.3

Subtrahiere $44$ von $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 8.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Schritt 8.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ als $- (5 \pm \sqrt{14})$ um.

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 8.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.3

Subtrahiere $44$ von $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 8.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Schritt 8.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ als $- (5 \pm \sqrt{14})$ um.

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.5.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Schritt 8.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Schritt 8.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Schritt 8.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 8.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.3

Subtrahiere $44$ von $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 8.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Schritt 8.6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Schritt 8.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ als $- (5 \pm \sqrt{14})$ um.

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Schritt 8.6.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Schritt 8.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Schritt 8.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Schritt 8.6.9

Multipliziere $- - \sqrt{14}$ .

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Schritt 8.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Schritt 8.6.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Schritt 8.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Schritt 8.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Schritt 8.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.9.1

Teste einen Wert im Intervall $k < - 5 - \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $k < - 5 - \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = - 11$

Schritt 8.9.1.2

Ersetze $k$ durch $- 11$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.9.1.3

Die linke Seite $- 22$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = - 5$

Schritt 8.9.2.2

Ersetze $k$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.9.2.3

Die linke Seite $14$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.9.3

Teste einen Wert im Intervall $k > - 5 + \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $k > - 5 + \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = 0$

Schritt 8.9.3.2

Ersetze $k$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.9.3.3

Die linke Seite $- 11$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falsch

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Wahr

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falsch

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falsch

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Wahr

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falsch

Schritt 8.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $k$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Schritt 10